Historia de las Matemáticas.

UNIDAD #1. LAS MATEMÁTICAS ANTIGUAS

Sistemas de numeración. 

La Matemática de los Egipcios  

  El Antiguo Egipto es la mayor civilización tecnológica de la antigüedad, el triunfo de la eficiencia y la inteligencia. Se pasa del neolítico a la historia en 2.500 años de acelerados avances técnicos. Los conocimientos científicos de los egipcios, su medicina, sus construcciones, su refinamiento siguen sorprendiendo y atrayendo.

Aquí nos vamos a ocupar de sus matemáticas. Tenían unos conocimientos matemáticos considerablemente avanzados. Sin llegar a la madurez que más adelante tendrían los griegos, los egipcios supieron solucionar los problemas que se les planteaban: tras la inundación anual del Nilo, las lindes desaparecían y tenían que volverlas a marcar, las construcciones (pirámides, templos,...), el comercio, los repartos, etc.

 Sus cálculos no eran abstractos, buscaban lo más práctico aunque no tuvieran la resolución y la reflexión teórica que después alcanzarían los griegos. Al contrario que a los matemáticos griegos, no les preocupó la resolución teórica ni la reflexión sobre problemas matemáticos (numéricos, aritméticos o geométricos), sino su inmediata aplicación práctica. Pero, sin embargo, fueron precursores. Los más importantes matemáticos griegos viajaron por Egipto y Babilonia aprendiendo de estos pueblos. 

• Aritmética: en Egipto encontramos dos sistemas de numeración, ambos de agrupamiento simple y cuya diferencia es la introducción de símbolos especiales en uno de ellos para evitar el principio de repetición: estos sistemas fueron el jeroglífico y el hierático (o sagrado), que utiliza símbolos cursivos. 

 Sistema de jeroglífico: fue un sistema de base 10 no posicional, de carácter aditivo. Los símbolos básicos fueron:  

 Sistema hierático: también fue un sistema de base 10 no posicional, pero para evitar la repetición de  símbolos se introdujeron especiales. Los principales símbolos fueron: 

• El álgebra: de los problemas llegados a través de las fuentes de información y especialmente de los papiros Rhind y Moscú, algunos platean resolver situaciones aparentemente de la vida cotidiana y que conducen a ecuaciones lineales, estos se resuelven por procedimientos aritméticos. Los problemas están formulados verbalmente.
• Geometría: los Egipto poco a poco fueron desarrollaron  métodos de medición de las tierras que dio origen a lo que conocemos hoy como geometría.   La geometría se consideró como una herramienta practica en la cual se empleaban la aritmética y el álgebra para resolver algunas situaciones de determinación de algunas áreas y volúmenes. 

 La Matemática de los Babilonios  

Junto con Egipto, el otro polo geográfico donde se originaron las Matemáticas que luego florecieron con los griegos y configuraron la cultura europea es Mesopotamia, la tierra fértil comprendida entre los valles de los ríos Éufrates y Tigris, en lo que hoy es Iraq. Desde el cuarto milenio A.E.C. habitaron el sur de Mesopotamia los sumerios, un pueblo no semita que inventó la escritura cuneiforme, que luego pasó a ser usada por los Acadios y los babilonios, pueblos semitas que invadieron sucesivamente Mesopotamia y conservaron la cultura sumeria original. Las tablillas de arcillas fueron el medio utilizado para escribir y la escritura utilizada es la llamada cuneiforme la consiste en la combinación de unos pocos signos rectos producidos con un clavo o punzón sobre una superficie húmeda de barro, que al secarse, queda fija y se puede conservar por mucho tiempo. 

Aritmética:

·   Sistema de numeración:

Después de pacientes labores de investigación e interpretación de las tablillas de contenido matemático, se llegó a establecer que los babilónicos tenían un sistema de numeración decimal de base 60. 

• El álgebra: indudablemente uno de los aspectos más importantes de la matemática babilónica es lo relativo a los desarrollados en álgebra, por cuanto ellos nos muestran que comprendieron la naturaleza de esos problemas y los trabajaban de acuerdo con esta naturaleza, sin ningún referente e interpretaciones geométricas o de atar la concepción del número a una representación o interpretación geométrica. Los babilonios utilizaron el Álgebra Retórica, lo cual hacen que sean aún más sorprendentes los logros obtenidos. Conviene tener presente que no solucionaban una ecuación en abstracto, como se hace hoy, sino que ella obedecía al planteamiento de un problema concreto que se proponía y que muchos de ellos conducían, por ejemplo, a sumar área con longitudes.

• Geometría: para los babilónicos la geometría se limitó a la solución de casos concretos relacionados con la medición de terrenos, determinación del tamaño y cantidad de ladrillos necesarios para una construcción, estos problemas de inmediato se convertían en problemas algebraicos. Esto llevó a que la geometría no tuviera un desarrollo independiente y que se limitara a dar algunas reglas para la determinación de áreas de ciertas figuras como cuadriláteros, triángulos, círculos y volúmenes de prismas rectos, cilindros, de esas fórmulas, algunas nos son correctas.  

 La Matemática de la India y China Antigua. 

Las Matemáticas de la India

Los primeros documentos matemáticos hindúes datan del siglo V d. C., sin embargo se piensa que debió haber una actividad matemática mucho antes de esta época. Parte de sus conocimientos geométricos primitivos utilizados en la construcción de templos y altares se encuentran en los salvasutras o "reglas de la cuerda", versiones de conocimientos que pueden remontarse a la época de Pitágoras.

Aritmética: 

•   Numeración de la india  La numeración india todavía es usada en india, Pakistán, Bangladesh, Nepal, y Birmania se basa en agrupar dos lugares decimales, en lugar de los tres habituales en casi todo el resto del mundo. Este sistema de numeración nos dio un gran avance ya que introdujo separadores entre los números en los lugares apropiados para el agrupamiento de a dos.
  
  Por otra parte en este sistema de numeración aparece el símbolo del cero en el siglo IX, Con la introducción del símbolo para el 0 de la numeración hindú tenemos el sistema de numeración que actualmente usamos. Con una base decimal, una notación posicional, una forma cifrada para cada uno de los diez numerales básicos.
  La suma y la multiplicación se hacían en la India casi como las hacemos hoy, salvo porque la escritura de los números se hacía con los de orden menor a la izquierda. Para multiplicar 456 x 34 = 15.504 lo hacían de la siguiente manera.
  La disposición en celdillas es un recurso para evitar las "llevadas", sólo hay que tener en cuenta las llevadas de las sumas parciales diagonalmente

• Geometría:  Entre las obras relacionadas con la geometría esta los aryabhata, siddhantas, y los sulvasutras en la última nos encontramos con reglas para la construcción de ángulos rectos por medio de ternas, cuyas longitudes constituyen a ternas pitagóricas, para la construcción de altares. Pero sin embargo se cree que esta reglas fueron heredaron de los babilonios. También agregó a este libro algunos aportes de los elementos de Euclides. Pero se cree que estas obras fueron basadas en obras de los matemáticos griegos. Los sulvasutras también contenía temas relacionados con la aritmética (fracciones, raíces cuadradas, interés simple, la regla de tres, la regula fácil) y álgebra (ecuaciones lineales y cuadráticas) y progresiones aritméticas। También contiene problemas geométricos.

• Trigonometría: Una de las contribuciones de la india a las matemáticas, consistió en la función equivalente al seno en trigonometría, para remplazar las tablas de cuerdas griegas las tablas más antiguas son las encontradas en los siddhantas y en el arrabiata donde se dan los senos de los ángulos menores de 90 grados 0, se tomaba como radio 3,438 unidades y la circunferencia correspondía como 360 *60=21600 unidades, pero para los hindúes en ecuaciones p era la raíz cuadrada de 10. 

•  Álgebra: En la matemática de la india se destacaron cuatro nombres propios: Aryabhata (s. VI), Brahmagupta (s. VI), Mahavira (s. IX) y Bhaskara Akaria (s. XII) quienes Profundizaron en la obtención de reglas de resolución de ecuaciones lineales y cuadráticas, en las cuales las raíces negativas eran interpretadas como deudas. Desarrollaron también, sin duda para resolver problemas astronómicos, métodos de resolución de ecuaciones diofánticas, llegando incluso a plantear y resolver (siglo XII) la ecuación x²=1+ay², denominada ecuación de Pelt. 

Recuperado de : http://marlyforeroblogspotcom.blogspot.com.co/2010/06/historia-de-las-matematicas-en-india.html

La matemática de China antigua

Aritmética

Sistema de numeración: En china existieron 2 sistemas de numeración en uno los números se representaban por pequeñas varillas de bambú o marfil, este sistema perduro muy poco, ya que se creaban problemas de confusión entre las descripciones de números grandes. El problema más grande con esta notación fue que podría llevar a una confusión. ¿Qué era? Podría ser 3, o 21 o 12 o incluso 111.

El otro sistema es de la forma clásica que a usar desde el 1500 A.C. aproximadamente. Es un sistema decimal estricto que usa las unidades con símbolo distinto para cada uno de ellos. En este sistema de numeración era fundamental el orden de la escritura ya que 5 10 7 igual podría representar 57 que 75.
Los eruditos chinos por su parte desarrollaron un sistema posicional muy parecido al actual que desde que incorporó el cero por influencia india en s. VIII en nada se diferencia de este. 

El ábaco: Con esta gran herramienta que se inventaron los chinos y que aún se utiliza, los chinos implementaron su forma de hacer las operaciones básicas en el ábaco nos lo han heredado los chinos conocían bien las operaciones con fracciones ordinarias hasta el puno de que hallaban el mínimo común denominador de varias fracciones, con las fracciones hacían analogías entre sexos, refiriéndose al denominador como “el hijo” y al denominador como “la madre “también utilizaban el yin y yang aparte de esto adoptaron un sistema decimal en pasos y medidas dio como resultado como resultado la implementación de decimales en el manejo de las fracciones.
Después de esto los chinos descubrieron la idea de los números negativos, no les causo muchas dificultades ya que estaban acostumbrados a calcular usando las varillas, uno de color rojo para los positivos y de color negro para los negativos. Aunque nunca los aceptaron como solución a una ecuación.

Los cuadrados mágicos: Los chinos han sido siempre muy aficionados al diseño armónico, aritmético o geométrico, estos cuadraditos ayudaron al autor de los nueve capítulos a resolver el sistema de ecuaciones lineales. Estos cuadros y diferentes figuras consistían en que en todos sus lados diera el mismo número. 

• Geometría: en la matemática primitiva de china se ve que quizá dependió un poco de Mesopotamia ya que tenían el mismo valor para p(3), en la búsqueda de valores más exactos, aparece liu hui de donde se obtiene el valor de 3,14 usando un polígono regular de 96 lados y la aproximación mejor de 3,14159

Triangulo aritmético:

Las obras de yang hui incluían también otros resultados para la suma de series finitas y del llamado triángulo de pascal, pero también son conocidas en el espejo precioso publicado por chu shih-shih, quien maneja estas sumas por medio del método de diferencias finitas y por otra parte el teorema binomial para potencias enteras positivas

Álgebra:

De la época de la primera dinastía Han (206 a. C. hasta 24 d.C.) procede el tratado Matemáticas en nueve Libros. Posteriormente otros matemáticos como Liu Hui (siglo III), Sun-zi (siglos II-IV), Liu Zhuo (siglo VI) y otros hicieron aportaciones a este tratado. El texto trata problemas económicos y administrativos como medición de campos, construcción de canales, cálculo de impuestos. Trabajan las ecuaciones lineales indeterminadas y un procedimiento algorítmico para resolver sistemas lineales parecidos al que hoy conocemos como método de Gauss que les llevó al reconocimiento de los números negativos. Estos números constituyen uno de los principales descubrimientos de la matemática china.
La escuela algebraica china alcanza su apogeo en el siglo XIII con los trabajos de Quin Jiu-shao, Li Ye, Yang Hui y Zhu Shi-jie que idearon un procedimiento para la resolución de ecuaciones de grado superior llamado método del elemento celeste o tian-yuanshu. Este método actualmente se conoce como método de Horner matemático que vivió medio milenio más tarde.
El desarrollo del álgebra en esta época es grandioso: sistemas de ecuaciones no lineales, sumas de sucesiones finitas, utilización del cero, triángulo de Tartaglia (o Pascal) y coeficientes binomiales así como métodos de interpolación que desarrollaron en unión de una potente astronomía.
El siglo VII vio la enorme gesta de ingeniería que supuso la unión de los dos ríos más importantes de China mediante el Gran Canal de 1700 km. de largo.

recuperado de : http://marlyforeroblogspotcom.blogspot.com.co/2010/06/historia-de-las-matematicas-en-india.html

 

Las Matemáticas Griegas y Helénicas 

La historia de los orígenes de la matemática griega se tiene que centrar necesariamente en las llamadas escuelas jónicas y pitagóricas, y en los representantes principales de cada una de ellas, tales y Pitágoras, aunque la reconstrucción de su pensamiento se basa solamente en informaciones fragmentarias y en tradiciones elaboradas durante los siglos posteriores. 

Este notable período de la matemática formal se inicia con la geometría demostrativa de Tales y culmina con los Elementos de Euclides. Durante este período, los sucesos mas importantes que evolucionan a Grecia son los siguientes:

a) Persia se transforma en una potencia militar y domina las colonias griegas de Asia menor en 546 A.C., é intenta invadir la península Griega en varias ocasiones sin éxito.

b) Los persas basan su desarrollo en la esclavitud, provocando una emigración de los griegos hacia las colonias de la costa de Italia.

c) De 480 a 430 A.C., hay un período de paz. Los matemáticos griegos dispersos vuelven a Atenas y la convierten en un centro de desarrollo intelectual. (Pericles, Sócrates, Zenón, etc.).

d) De 430 a 370 A.C., hay un nuevo período bélico y una epidemia mata 1/4 de la población de Atenas.

Después del 370 A.C., regresan a Grecia los pitagóricos emigrados con el compromiso de no participar en cuestiones políticas.

Durante este período se fundan escuelas en Atenas y las colonias griegas, de las cuales, las mas importantes son las siguientes:

1.- Mileto. En este colonia griega de Asia Menor, funda Tales la "Escuela" donde estudió Pitágoras.

2.- Crotona. Colonia griega de la costa de Italia, donde inicia Pitágoras la escuela de los primeros pitagóricos.

3.- Elea. Colonia griega en Italia, donde Zenón y Parménides fundan su escuela.

4.- Atenas. En la capital de Grecia inician su escuela Pericles y Sócrates, seguidos por Platón y posteriormente por los pitagóricos Zenón y Parménides de Elea y por Hippocrates de Asia Menor.

5.- Targnto. Colonia griega en Italia donde se funda la escuela iniciada por Archytas.

6.- Cycicus, Colonia griega del noroeste de Asia Menor donde se funda la escuela de Eudoxus, alumno de Archytas y Platón.

7.- Cyrene. Fundada por Teodoro, en el norte de África. El año 300 A.C., Ptolomeo funda en la Ciudad de Alejandría, la primera Universidad, donde enseña Euclides y estudian importantes personajes como Arquímedes, que se establece en Siracusa en la Isla de Sicilia y Apolonio en Perga al Suroeste de Asia menor.