Unidad # 6
MATEMÁTICA DE LOS SIGLOS
XIX y XX
La historia matemática del siglo XIX es inmensamente rica y
fecunda. Demasiado como para ser abarcada en su totalidad dentro de la talla
razonable de este artículo; aquí se presentan los puntos sobresalientes de los
trabajos llevados a cabo durante este período.
Numerosas teorías nuevas aparecen y se completan trabajos
comenzados anteriormente. Domina la cuestión del rigor, como se manifiesta en el
«análisis matemático» con los trabajos de Cauchy y la suma de series (la cual reaparece a propósito de
la geometría), teoría de funciones y particularmente sobre las bases del
cálculo diferencial e integral al punto de desplazar las nociones de infinitamente pequeño que habían tenido notable éxito el
siglo pasado. Más aún, el siglo marca el fin del amateurismo matemático: las
matemáticas eran consideradas hasta entonces como obra de algunos particulares,
en este siglo, se convierten en profesiones de vanguardia. El número de
profesionales no deja de crecer y las matemáticas adquieren una importancia
nunca antes vista. Las aplicaciones se desarrollan rápidamente en amplios
dominios, haciendo creer que la ciencia todo lo puede; algunos sucesos así
parecen atestiguarlo, como el descubrimiento de un nuevo planeta únicamente por
el cálculo, o la explicación de la creación del sistema solar. El dominio de la
física, ciencia experimental por excelencia, se ve completamente invadido por
las matemáticas: el calor, la electricidad, el magnetismo, la mecánica de
fluidos, la resistencia de materiales y la elasticidad, la cinética química,
son todas matematizadas.
Análisis Vectorial
tomado de : https://www.youtube.com/watch?v=4tBg08ZPKBI
Estadística y probabilidad
El
termino Alemán Statisstik, fue introducido por primera vez por Godofredo Achenwall
en 1749, el cual se refería al análisis de datos del Estado, es decir, la
“ciencia del Estado”(o más bien, de la ciudad-estado). También se llamó
aritmética política de acuerdo con la traducción literal del inglés.
En el siglo XIX el termino estadística adquirió el significado de
recolectar y clasificar datos, concepto introducido por el militar
británico Sir John Sinclair (1754-1835).Esta conceptualización nos lleva a
replantear el estudio de la historia la estadística comenzando
con la aparición de registros antiguos relacionados con la recolección de
datos hasta llegar a nuestros días.
Si
se busca la palabra estadística en el Diccionario de la Real Academia Española
se verifica que vine del alemán y tiene tres definiciones o acepciones:
1
Estudio de los datos cuantitativos de la población, de los recursos naturales e
industriales del tráfico o de cualquier otra manifestación de las sociedades
humanas.
2
Conjuntos de estos datos.
3
Rama de la matemática que utiliza grandes conjuntos de datos numéricos para tener
inferencias basadas en el cálculo de probabilidades.
A lo largo de la historia
una de las características más relevantes de la estadística, es logran
cantidad
de
definiciones que se han escrito sobre lo que debe entenderse por estadística,
la cual ha dividido hasta a los propios estadísticos. Desde Quetelet,
(padre de la sociología cuantitativa) quien la consideraba la reina delas
ciencias, hasta autores que la definen como una técnica más al servicio de
otras ramas de conocimientos. Una de las primeras definiciones consideraba la
estadística como: Rama de las matemáticas que se ocupa de reunir, organizar y
analizar datos numéricos. Después una de las definiciones más comunes fue:
Es
una ciencia que estudia la recolección, organización, presentación,
análisis e interpretación de datos numéricos. W.F Willcox,
en1935, reúne 115 definiciones y aporta una más según el para sustituirlas. Ciencia
que se ocupa del estudio de fenómenos de tipo genérico, normalmente complejos y
enmarcados en un universo variable, mediante el empleo de modelos de reducción
de la información y de análisis de validación de los resultados en términos de
representatividad. Definida de esta forma, se evita la innecesaria discusión
sobre si la estadística es o no una rama de las matemáticas, a la vez que
establece su carácter genérico y su campo de acción en el estudio de fenómenos
complejos ubicados en un universo amplio y variable. Rivas González (1979) en
su definición de estadística plantea otros puntos…“consideramos la estadística,
no como una ciencia, sino como un conjunto de métodos, que en lo sucesivo
llamaremos métodos estadísticos.” Batanero (2001) considera que la definición
de Cabria (1994) refleja adecuadamente lo que es estadística hoy día. La
estadística estudia el comportamiento de los fenómenos llamados de
colectivo. Está caracterizada por una información acertada de un colectivo o
universo lo que constituye su objeto material; un modo propio de razonamiento,
el método estadístico, lo que constituye su objeto formal y unas provisiones de
cara al futuro, lo que implica un ambiente de incertidumbre, que constituye
su objeto o causa final. En esta definición se destacan varios elementos
importantes para la estadística como son: el estudio de fenómenos colectivos o
universo, un modo propio de razonamiento, las provisiones de cara al futuro en
situaciones de incertidumbre.
Los fenómenos y las incertidumbres son características
propias de la sociedad actual, el pensamiento estadístico ayuda a comprender
esos fenómenos y a tomar decisiones en ambientes de incertidumbre. Otro punto
que surge al hablar de la definición de estadística es lo referente a sus ramas
o divisiones. Algunos optan por dividirla en estadística teórica y aplicada,
otros en estadísticas descriptivas e inferencial, siendo esta ultima la más
clásica.
Geometría no euclidiana
La geometría vivió una auténtica revolución con el
surgimiento de geometrías no euclidianas. Todo giraba alrededor del postulado
de las paralelas de Euclides. Después de muchos años de tratar de demostrar el
quinto postulado como una derivación de los otros postulados o de sustituirlo
por otros, se asumió su independencia. Con ello se daría una importante
transformación en la percepción de las matemáticas, en particular sobre su
naturaleza. Fueron Gauss,
el ruso Nikolai
Ivanovich Lobachevsky (1793
- 1856) y el húngaro János Bolyai (1802 - 1860), los
creadores de las geometrías no euclidianas, de una manera independiente. Se
sabe, gracias a su diario, que Gauss se había adelantado a los otros
matemáticos, pero este matemático no había publicado sus resultados. Gauss empezó a trabajar en la geometría no
euclidiana desde 1792, con 15 años, cuando le mencionó a un amigo, Schumacher,
la idea de una geometría válida sin el quinto postulado.
En una carta dirigida al matemático húngaro
Wolfgang Farkas Bolyai (1775 - 1856), en 1799, Gauss afirmó que no se podía deducir el
quinto postulado de los otros postulados euclidianos. Desde ese momento con
mayor interés le dedicó sus esfuerzos a geometrías sin ese postulado: por lo
menos desde 1813, Gauss trabajó en la nueva geometría que
llamó primero anti-euclidiana,
luego astral y después no euclidiana. Gauss llegó a la conclusión de que no podía
probarse que los resultados de la geometría euclidiana fueran autoevidentes y
su verdad necesaria, lo que sí sucedía -en su opinión- con la aritmética.
En la geometría que desarrolló Gauss,
la suma de los ángulos de un triángulo es menor que 180 grados, pero esta suma
aumenta de acuerdo con el tamaño del área del triángulo: conforme el área del
triángulo se hace más pequeña, e incluso tiende a 180 cuando el área tiende a 0 .
Aunque la geometría no euclidiana constituía una
verdadera revolución, su influencia en la comunidad matemática no fue
inmediata. Por un lado, porque el mismo Gauss no publicó sus resultados y, por el
otro, porque Lobachevsky y Bolyai no eran originarios de los países
"importantes'' en
las ciencias y matemáticas de la época. Además, Lobachevsky publicó primero en ruso y los rusos
que lo leyeron fueron muy duros con su trabajo. No fue sino hasta 1840 que
Lobachevsky publicó en alemán. Hay que decir, además, que durante esa época la
geometría de moda era la proyectiva, y, por otra parte, los matemáticos no se
sentían a gusto con ideas tan radicales y novedosas.
Después de la muerte de Gauss,
en 1855, se publicó sus trabajos incluyendo notas y correspondencia en torno a
la geometría no euclidiana. Esto hizo que se le pusiera atención al tema.
Los trabajos de Bolyai y Lobachevsky fueron mencionados en 1866 - 1867 por
el matemático Richard Baltzer (1818 - 1887) y poco después se fue tomando
conciencia de la trascendencia de la nueva geometría. La geometría que
desarrollaron asumió que por un punto exterior a una recta pasan un número
infinito de rectas paralelas a la dada (es decir que no poseen puntos de
intersección). Esto se derivaba de la hipótesis del ángulo agudo de Saccheri.
De hecho, es con dos paralelas que trabajó Lobachevsky.
Una valoración de las geometrías no euclidianas y
su impacto en la naturaleza de las matemáticas:
"Al dar el hecho histórico escueto de que Lobachewsky en 1826 - 9 y J. Bolyai en 1833 casi simultáneamente y con
entera independencia publicaron detallados desarrollos de la geometría
hiperbólica, hemos recordado una de las mejores revoluciones del pensamiento.
Para encontrar otra que se le pueda comparar en importancia de largo alcance
hemos de remontarnos a Copérnico, y aún esta comparación es inadecuada en
ciertos aspectos, ya que la geometría no euclidiana y el álgebra abstracta
habrían de cambiar toda la perspectiva del razonamiento deductivo y no
limitarse simplemente a ampliar o a modificar secciones particulares de la
ciencia y de las matemáticas. Al álgebra abstracta de 1830 y años siguientes, y
a las atrevidas creaciones de Lobachewsky y de Bolyai se remontan el concepto actual (1945)
de las matemáticas como creación arbitraria de los matemáticos. Exactamente de
la misma manera que un novelista inventa personajes, diálogos y situaciones de
las que es a la vez autor y señor, el matemático imagina a voluntad los
postulados sobre los que se basa sus sistemas matemáticos. Tanto el novelista
como los matemáticos pueden estar condicionados por el medio ambiente por la
condición y por la manera de tratar su
material; pero ni unos ni otros se ven obligados por ninguna necesidad eterna y
extrahumana a crear ciertos personajes o a inventar ciertos sistemas. Y si el
caso fuera que sí están así condicionados, nadie lo ha demostrado, y para una
inteligencia adulta del siglo XX la multiplicación de las hipótesis superfluas
y místicas es una empresa aún más fútil de lo que lo era en los días de Occam. ‘‘[Bell,
E.T.: Historia de
las matemáticas, pp. 342-343]
Realmente las geometrías no euclidianas serían
integradas a las líneas centrales de las matemáticas hasta Riemann,
quien contribuyó directamente a la generación de nuevas geometrías de una forma
muy amplia. De igual manera que Gauss, Bolyai y Lobachevsky Riemann asumió un postulado contrario al
quinto de Euclides, pero lo hizo de una manera diferente. En lugar de asumir
que existe un número infinito de rectas paralelas que pasan por un punto
exterior a una recta dada, asumió que no pasaba ninguna. Puesto de otra forma:
al extenderse indefinidamente las rectas, tarde o temprano éstas se deberían
cortar. Esta era la hipótesis del ángulo obtuso de Saccheri.
Tomado
de: http://www.centroedumatematica.com/aruiz/libros/Historia%20y%20Filosofia/Parte6/Cap21/Parte02_21.htm
Geometría proyectiva
En todo esto, el asunto planteado primeramente por
Alberti, del comportamiento de las proyecciones de una figura, tan cercano a
los trabajos de perspectiva, también fue relevante. Los métodos que se
desarrollaron formaron una disciplina en sí misma.
Fue Girard
Desargues (1591 -
1661) el primero en abordar trabajos en esta dirección. Creó nuevos métodos y
conceptos, y a través de la proyección y la sección como método de prueba
abordó diferentes estudios de las secciones cónicas de una manera general. Su
nueva interpretación de la geometría ofreció una nueva visión sobre esta
disciplina. Ya en el año 1636 este arquitecto de la ciudad francesa de Lyon
había escrito un libro sobre perspectiva. Sin embargo, será en 1639 que
ofrecerá los conceptos fundamentales de la geometría proyectiva: Brouillon projet d'une atteinte aux évenements des rencontres d'un
cone avec un plan.
Se afirma, sin embargo, que fue Blaise Pascal
(1623 - 1662) quien más contribuyó a la geometría proyectiva en esta época. El
trabajo de Blaise Pascal también se asoció a las probabilidades, a un famoso
teorema de un hexágono inscrito en un círculo, al triángulo aritmético formado
por coeficientes binomiales, al principio de
inducción completa así
como a asuntos propiamente de los infinitesimales.
También se puede citar el trabajo de Philippe de
La Hire (1640 - 1718).
Los trabajos en geometría proyectiva contribuyeron
en la búsqueda de métodos generales en las demostraciones matemáticas, usando
procedimientos más amplios que los de Apolonio,
por ejemplo. Esta disciplina estuvo vinculada a los asuntos de perspectiva de
los pintores y al uso de las secciones cónicas.
Ahora bien, durante el siglo XVII el interés
fundamental de los matemáticos no recayó en la geometría proyectiva, sobre todo
porque lo más relevante eran, por un lado, la potencia de los métodos
algebraicos en la solución de los múltiples problemas científicos y, por el
otro, las aplicaciones. Los trabajos en la geometría proyectiva volverían a
retomarse hasta el siglo XIX. Esto lo comenta Bell, en términos comparativos
con la lógica simbólica:
"La evolución de la geometría proyectiva
sintética y de la lógica simbólica constituye un contraste interesante de
supervivencia de lo anticuado en matemáticas. De ambas nos ocuparemos en
capítulos posteriores; por ahora nos limitaremos a señalar la notable
diferencia que existe entre su suerte y la prosperidad uniforme de otras
creaciones del siglo XVII. La geometría proyectiva sintética, después de que la
inventaron Desargues y Pascal, languideció hasta principios
del siglo XIX, en que se hizo muy popular entre los geómetras que no gustaban
del análisis. El sueño de Leibniz de una ciencia matemática de la
deducción quedó adormecido hasta mediados del siglo XIX, y aún entonces atrajo
muy pocos, aunque Leibniz había previsto la importancia que
había de tener la lógica simbólica para toda la matemática, e hizo
personalmente considerables progresos hacia un álgebra de las clases. Tan solo
en la segunda década del siglo XX consiguió la lógica matemática rango de
capítulo principal de las matemáticas. ‘‘ [Bell, E.T.: Historia de las matemáticas, p. 145]
Tomado de: http://www.centroedumatematica.com/aruiz/libros/Historia%20y%20Filosofia/Parte4/Cap14/Parte01_14.htm
Teoría de conjuntos
Al final del siglo XIX, Georg
Cantor estableció las primeras bases de la teoría de conjuntos, lo que permitió
el tratamiento riguroso de la noción de infinito, y se ha convertido en el
lenguaje común de casi todas las matemáticas.
El trabajo de Cantor en la teoría de conjuntos fue
ampliado por otro alemán, Richard Dedekind, que define conceptos como conjuntos
similares y conjuntos infinitos. Dedekind también se le ocurrió la idea, que
ahora se llama un corte de Dedekind, que se ha convertido en una definición
estándar de los números reales. Él demostró que cualquier número irracional
divide los números racionales en dos clases o en grupos, la clase alta debe ser
estrictamente mayor que todos los miembros de la otra
Tomado
de: https://mates2015.wordpress.com/2015/01/21/las-matematicas-desde-el-siglo-xix-hasta-la-actualidad-2/
Topología
Históricamente, las primeras ideas topológicas
conciernen al concepto de límite y
al de completitud de un espacio métrico, y se manifestaron principalmente en la
crisis de los inconmesurables de los pitagóricos,
ante la aparición de números reales no racionales. El primer acercamiento concreto al
concepto de límite y también al de integral aparece en el método de exhaución de Arquímedes.
La aparición del Análisis Matemático en el siglo XVII puso en evidencia la necesidad
de formalizar el concepto de proximidad y continuidad, y la incapacidad de la
Geometría para tratar este tema. Fue precisamente la fundamentación del Cálculo
Infinitesimal, así como los intentos de formalizar el concepto de variedad en
Geometría lo que llevó a la aparición de la Topología, a finales del siglo XIX
y principios del XX.
Se suele fechar el origen de
la Topología con la resolución por parte de Euler del problema de los puentes de Königsberg,
en 1735. Ciertamente, la resolución de Euler del problema utiliza una forma de
pensar totalmente topológica, y la solución del problema nos lleva a la característica de Euler, el primer invariante
de la Topología Algebraica, pero sería muy arriesgado
y arbitrario fechar en ese momento la aparición de la Topología. La situación es exactamente
análoga a la del cálculo del área de la elipse por Arquímedes.
tomad de : http://topologias-carolina.blogspot.com.co/2011/09/la-historia-de-la-topologia.html
