UNIDAD # 5
MATEMÁTICAS DEL SIGLO XVIII
Durante el resto del siglo XVII y buena parte del XVIII, los discípulos de Newton y Leibniz se basaron en sus trabajos para resolver diversos problemas de física, astronomía e ingeniería, lo que les permitió, al mismo tiempo, crear campos nuevos dentro de las matemáticas. Así, los hermanos Jean y Jacques Bernoulli inventaron el cálculo de variaciones y el matemático francés Gaspard Monge la geometría descriptiva. Joseph Louis Lagrange, también francés, dio un tratamiento completamente analítico de la mecánica en su gran obra Mecánica analítica (1788), en donde se pueden encontrar las famosas ecuaciones de Lagrange para sistemas dinámicos. Además, Lagrange hizo contribuciones al estudio de las ecuaciones diferenciales y la teoría de números, y desarrolló la teoría de grupos. Su contemporáneo Laplace escribió Teoría analítica de las probabilidades (1812) y el clásico Mecánica celeste(1799-1825), que le valió el sobrenombre de ‘el Newton francés’.
El gran matemático
del siglo XVIII fue el suizo Leonhard Euler, quien aportó ideas
fundamentales sobre el cálculo y otras ramas de las matemáticas y sus
aplicaciones. Euler escribió textos sobre cálculo, mecánica y álgebra que se
convirtieron en modelos a seguir para otros autores interesados en estas
disciplinas.”
“Sin embargo, el éxito de Euler y de
otros matemáticos para resolver problemas tanto matemáticos como físicos
utilizando el cálculo sólo sirvió para acentuar la falta de un desarrollo
adecuado y justificado de las ideas básicas del cálculo. La teoría de Newton
estaba basada en la cinemática y las velocidades, la de Leibniz en los
infinitésimos, y el tratamiento de Lagrange era completamente algebraico y
basado en el concepto de las series infinitas. Todos estos sistemas eran
inadecuados en comparación con el modelo lógico de la geometría griega, y este
problema no fue resuelto hasta el siglo posterior.”
Tomado de: http://www.uv.es/~teamar3/Historia04.htm
El calculo
El concepto de Cálculo y sus ramificaciones se introdujo en el siglo XVIII,
con el gran desarrollo que obtuvo el análisis matemático, creando ramas como el
cálculo diferencial, integral y de variaciones.
Pero pronto surgió
el problema de la convergencia de la serie, que se resolvió en parte con
la introducción de términos residuales, así como con la transformación de series
en otras que fuesen convergentes. Junto a las series de potencias se incluyeron
nuevos tipos de desarrollos de funciones, como son los desarrollos en series
asintóticas introducidos por Stirling y Euler. La acumulación de resultados del
cálculo diferencial transcurrió rápidamente, acumulando casi todos los
resultados que caracterizan su estructura actual.
Introducir el
cálculo integral, se logró con el estudio de J.Bernoulli, quien escribió el
primer curso sistemático de cálculo integral en 1742. Sin embargo, fue Euler quien
llevó la integración hasta sus últimas consecuencias, de tal forma que los métodos de
integración indefinida alcanzaron prácticamente su nivel actual. El cálculo
de integrales de tipos especiales ya a comienzos de siglo, conllevó el
descubrimiento de una serie de resultados de la teoría de las funciones
especiales. Como las funciones gamma y beta, el logaritmo integral o las
funciones elípticas.
Este es el
desarrollo las matemáticas han obtenido desde que el hombre vio la necesidad de
contar, hasta nuestros días. Actualmente gran cantidad de matemáticos siguen en
el desarrollo de las matemáticas denominadas matemáticas modernas, de donde sus
conceptos son la base de la mayor parte de las ciencias actuales.
En relación con el
análisis matemático en este siglo, se fundamentó en un conjunto de
procedimientos y métodos de solución de numerosos problemas que crecía
rápidamente. Todos estos métodos aun podían dividirse en tres grandes grupos,
constituidos en el cálculo diferencial, el cálculo integral y la teoría de ecuaciones
diferenciales. Con estos fundamentos se llegó a lo que se conoce como teoría de
límites y de funciones, que fueron el tema central en este siglo.
Un problema
importante fue definir el significado de la palabra función. Euler, LaGrange y
el matemático francés Fourier aportaron soluciones, pero fue el matemático alemán Dirichlet quien propuso su definición en
los términos actuales. En 1821, un matemático francés, Cauchy, consiguió un
enfoque lógico y apropiado del cálculo y se dedicó a dar una definición precisa
de "función continua". Basó su visión del cálculo sólo en cantidades
finitas y el concepto de límite. Esta solución planteó un nuevo problema, el de
la definición lógica de número real. Aunque la definición de cálculo de Cauchy
estaba basada en este concepto, no fue él sino el matemático alemán Dedekind
quien encontró una definición adecuada para los números reales. Los matemáticos
alemanes Cantor y Weierstrass también dieron otras
definiciones casi al mismo tiempo.
tomado de : http://www.monografias.com/trabajos99/historia-del-calculo/historia-del-calculo.shtml#ixzz3r2LJHk13
Fundamentos del calculo
El siglo XVIII es denominado “El
siglo del Análisis Matemático”. De 1700 a 1800 se dio la consolidación del cálculo
y sus aplicaciones a las ciencias naturales, particularmente a la Mecánica. Con
ese desarrollo, vino la especialización y el nacimiento de nuevas ramas de las
de Euler, siguieron dos obras más, en 1755 y 1768, sobre el cálculo diferencial e integral, respectivamente, que constituyen la fuente original de los actuales libros y textos sobre el cálculo y las ecuaciones diferenciales. El enfoque analítico de Euler recibió un gran impulso de la otra gran figura del siglo XVIII, el matemático Joseph Louis Lagrange, quien a la muerte de Euler, en 1.3 El siglo XIX: Cauchy, Riemann y Weierstrass 17 1783, lo reemplazó como el matemático líder de Europa. Aplicando métodos puramente analíticos, Lagrange extendió y perfeccionó el cálculo de Variaciones y a partir de sus aplicaciones a la mecánica, sentó los fundamentos de la llamada Mecánica Analítica. En 1788 se publicó su famoso tratado Mecánica Analítica en donde, aplicando las ideas del cálculo de variaciones, presenta los fundamentos analíticos de la mecánica. En el prefacio de su tratado, Lagrange declara que en su exposición sólo recurre a argumentos analíticos, sin dibujos, figuras o razonamientos mecánicos. Es decir, Lagrange hace de la mecánica una rama del análisis matemático. Para fines del siglo XVIII había preocupación en Europa por los fundamentos del cálculo y del análisis. Los argumentos basados en la teoría de fluxiones de Newton y en la idea de infinitamente pequeño mostraban serias inconsistencias que fueron puntualmente señaladas por el obispo anglicano irlandés George Berkeley (1685-1753) en 1734. Afrontando la situación anterior, Lagrange publicó en 1797 su obra Teoría de funciones analíticas en la cual pretende presentar un desarrollo completo del cálculo de funciones sin recurrir a los conceptos de limite o de cantidad infinitesimal. El enfoque de Lagrange se basa en considerar que las funciones son representables como series de potencias, cuyos coeficientes definen las derivadas de los distintos ´ordenes. En este tratado, Lagrange sienta las bases para la aproximación de funciones por polinomios y da la forma del residuo denominada Residuo de Lagrange.
tomado de: http://www.mat.uson.mx/sitio/documentos/fundamentos-de-calculo.pdf
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