UNIDAD # 4:
LA MATEMÁTICA DEL SIGLO XVII
Los
logaritmos.
Los orígenes del descubrimiento de los logaritmos se
remontan hasta Arquímedes en la comparación de las sucesiones aritméticas con
las geométricas. En 1544, (Núremberg), Miguel Stifel publica "Arithmetica íntegra";
en este libro da a conocer la única tabla existente de los logaritmos y el
cálculo con potencias de exponente racional. Estos dos, son los precursores de
los logaritmos.
El método de logaritmos fue propuesto
públicamente en 1614, en un libro titulado Mirifici Logarithmorum Canonis
Descriptio, de John Napier, barón de Merchiston, en Escocia, (Joost Burgi,
relojero y matemático, descubrió independientemente los logaritmos, sin
embargo, publicó su descubrimiento cuatro años después que Napier). La temprana
resistencia al uso de los logaritmos fue silenciados por el apoyo entusiasta de
Kepler y su publicación de una explicación clara de cómo funcionaban. Henry
Briggs, un profesor de geometría de Oxford, se interesó por las teorías de
Napier y viajó a Edimburgo. Después de una larga discusión, Briggs entró en la
historia de los logaritmos con el descubrimiento de la primera tabla de
logaritmos en base 10.Su uso ha contribuido al avance de la ciencia, y especialmente al de la astronomía, haciendo posibles, algunos cálculos complejos. Antes de la aparición de las calculadoras y ordenadores, fueron utilizados constantemente en topografía, navegación y otras ramas prácticas de las matemáticas. Además de la utilidad del concepto de logaritmo de cálculo, el logaritmo natural presenta una solución al problema de la cuadratura de un sector hiperbólico de la mano de Gregoire de Saint-Vincent en 1647.
Al principio, Napier los llamó logaritmos "números artificiales" y antilogaritmos "números naturales". Más tarde, formó el logaritmo de Napier, palabra para referirse a un número que indica una relación: λόγος (logos), el sentido de proporción, y ἀριθμός (arithmos), que significa número. Debido a que la diferencia de dos logaritmos determina la relación de los números que representan, una serie aritmética de logaritmos corresponde a una serie geométrica de números. El antilogaritmo, término que fue introducido en el siglo XVII y, aunque nunca se usa ampliamente en matemáticas, persistió en las colecciones de cuadros, hasta que cayó en desuso.
Personajes que tuvieron relación con la historia de los logaritmos
Arquímedes empezó comparando las sucesiones aritméticas con las geométricas.
La regla de Arquímedes, dice que "para multiplicar entre sí dos números cualesquiera de la sucesión de abajo, debemos sumar los dos números de la sucesión de arriba situados encima de aquellos dos. Luego debe buscarse en la misma sucesión de arriba dicha suma. El número de la sucesión inferior que le corresponda debajo será el producto deseado".
John Napier
John Napier dedujo un método sencillo para multiplicar senos de ángulos por un proceso de adición directa. Fue el inventor de la palabra logaritmo, es decir, número de razones, pues en el caso de ser el logaritmo un número entero, es el número de factores que se toman de la razón dada (base) para obtener el antilogaritmo.
Joost BürgiFue un relojero y constructor de instrumentos. Se dice que concibió la idea de logaritmo antes que Napier, pero se dice que por falta de material y tiempo no lo dio a conocer.
Publico sus tablas logarítmicas en Praga, en el año 1620. Observó que las propiedades logarítmicas no se extendían solamente sobre la sucesión de potencias de base dos, sino sobre sucesiones con cualquier razón. Así nacen los logaritmos de "base vulgar" o logaritmos de Briggs. La tarea de construir la primera tabla de logaritmos en base 10 fue asumida por Briggs.
Henry Briggs
Fue profesor de geometría en Oxford. Visito a
Napier en Edimburgo, y juntos llegaron a la conclusión de que el logaritmo de 1
debía ser igual a 0, mientras que el logaritmo de 10 debía ser igual a 1.
Geometría analítica
Se conoce como geometría analítica al estudio de ciertas líneas y figuras
geométricas aplicando técnicas básicas del análisis matemático y del álgebra en
un determinado sistema de coordenadas. Lo novedoso de la geometría analítica es que permite representar figuras
geométricas mediante fórmulas del tipo f(x, y) = 0,
donde se presenta
una función u otro tipo de expresión matemática.
La idea que llevó a la geometría analítica fue: a cada punto en un plano le
corresponde un par ordenado de números y a cada par ordenado de le corresponde
un punto en un plano. Fue inventada por René Descartes y por Pierre Fermat, a principios del
siglo XVII, y como vimos, relaciona la matemática y el álgebra con la geometría
por medio de las correspondencias anteriores.
Además, Descartes y Fermat observaron, y esto es crucial, que las
ecuaciones algebraicas corresponden con figuras geométricas. Eso significa que
las líneas y ciertas figuras geométricas se pueden expresar como ecuaciones y,
a su vez, las ecuaciones pueden graficarse como líneas o figuras geométricas. La idea central de toda la Geometría Analítica consiste en establecer un
vínculo entre objetos geométricos y números, de tal manera que los problemas
geométricos se puedan expresar de manera algebraica (analítica) y que muchos
problemas algebraicos puedan encontrar una interpretación geométrica. La idea
de establecer este nexo permite por un lado, representar en forma algebraica
objetos puramente geométricos, con lo cual todo el arsenal de herramientas del
álgebra se puede aplicar a la geometría.
tomado de:
Geometría
La geometría como palabra tiene dos raíces griegas: geo = tierra y metrón = medida; o sea, significa "medida de la tierra". Su origen, unos tres mil años antes de Cristo, se remonta al Medio Oriente, en particular al Antiguo Egipto, en que se necesitaba medir predios agrarios y en la construcción de pirámides y monumentos. Esta concepción geométrica se aceptaba sin demostración, era producto de la práctica.
Estos conocimientos pasaron a los griegos y fue Tales de Mileto quien hace unos 6 siglos antes de Cristo inició la geometría demostrativa. Las propiedades se demuestran por medio de razonamientos y no porque resulten en la práctica. Las demostraciones pasan a ser fundamentales y son la base de la Lógica como leyes del razonamiento.
Euclides fué otro gran matemático griego, del siglo III antes de Cristo, quien en su famosa obra titulada "Los Elementos", recopila, ordena y sistematiza
todos los conocimientos de geometría hasta su época y, salvo algunas pequeñas variaciones, son los mismos conocimientos que se siguen enseñando en nuestros días.
Euclides, usando un razonamiento deductivo parte de conceptos básicos primarios no demostrables tales como punto, recta, plano y espacio, que son el punto de partida de sus definiciones, axiomas y postulados. Demuestra teoremas y a su vez, éstos servirán para demostrar otros teoremas. Crea nuevos conocimientos a partir de otros ya existentes por medio de cadenas deductivas de razonamiento lógico. Esta geometría, llamada geometría euclidiana se basa en lo que históricamente se conoce como 5º postulado de Euclides: "por un punto situado fuera de una recta se puede trazar una y sólo una paralela a ella".
Probabilidad
La historia de la probabilidad
comienza en el siglo XVII cuando Pierre
Fermat » y Blaise
Pascal » tratan de resolver algunos problemas relacionados con los
juegos de azar. Aunque algunos marcan sus inicios cuando Cardano (jugador donde
los haya) escribió sobre 1520 El Libro de los Juegos de Azar (aunque
no fue publicado hasta más de un siglo después, sobre 1660) no es hasta dicha
fecha que comienza a elaborarse una teoría aceptable sobre los juegos.
Christian Huygens conoció la correspondencia
entre Blaise Pascal y Pierre Fermat suscitada por el caballero De Méré, se
planteó el debate de determinar la probabilidad de ganar una partida, y publicó
(en 1657) el primer libro sobre probabilidad: De Ratiociniis in Ludo Aleae,
(Calculating in Games of Chance), un tratado sobre juegos de azar.
Durante el siglo XVIII, debido
muy particularmente a la popularidad de los juegos de azar, el cálculo de
probabilidades tuvo un notable desarrollo sobre la base de la anterior
definición de probabilidad. Destacan en 1713 el teorema de Bernoulli y la
distribución binomial, y en 1738 el primer caso particular estudiado por De Moivre »,
del teorema central del límite. En 1809 Gauss » inició
el estudio de la teoría de errores y en 1810 Laplace, que había
considerado anteriormente el tema, completó el desarrollo de esta teoría. En
1812 Pierre
Laplace » publicó Théorie analytique des probabilités en el que expone
un análisis matemático sobre los juegos de azar.
A mediados del siglo XIX,
un fraile agustino austríaco, Gregor Mendel, inició el estudio de la
herencia, la genética, con sus interesantes experimentos sobre el cruce de
plantas de diferentes características. Su obra, La matemática de la Herencia,
fue una de las primeras aplicaciones importantes de la teoría de probabilidad a
las ciencias naturales
Desde los orígenes la principal
dificultad para poder considerar la probabilidad como una rama de la matemática
fue la elaboración de una teoría suficientemente precisa como para que fuese
aceptada como una forma de matemática. A principios del siglo XX el matemático
ruso Andrei
Kolmogorov » la definió de forma axiomática y estableció las
bases para la moderna teoría de la probabilidad que en la actualidad es parte
de una teoría más amplia como es la teoría de la medida.
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