Matemáticas en el Renacimiento.

UNIDAD 3: 

LAS MATEMÁTICAS EN EL

  RENACIMIENTO

Matemáticas en el renacimiento 

Aunque el final del periodo medieval fue testigo de importantes estudios matemáticos sobre problemas del infinito por autores como Nicole Oresme, no fue hasta principios del siglo XVI cuando se hizo un descubrimiento matemático de trascendencia en Occidente. Era una fórmula algebraica para la resolución de las ecuaciones de tercer y cuarto grado, y fue publicado en 1545 por el matemático italiano Gerolamo Cardano en su Ars magna. Este hallazgo llevó a los matemáticos a interesarse por los números complejos y estimuló la búsqueda de soluciones similares para ecuaciones de quinto grado y superior. Fue esta búsqueda la que a su vez generó los primeros trabajos sobre la teoría de grupos a finales del siglo XVIII y la teoría de ecuaciones del matemático francés Évariste Galois a principios del XIX.

También durante el siglo XVI se empezaron a utilizar los modernos signos matemáticos y algebraicos. El matemático francés François Viète llevó a cabo importantes estudios sobre la resolución de ecuaciones. Sus escritos ejercieron gran influencia en muchos matemáticos del siglo posterior, incluyendo a Pierre de Fermat en Francia e Isaac Newton en Inglaterra.

Leer más: http://www.monografias.com/trabajos91/matematicas-traves-tiempos/matematicas-traves-tiempos.shtml#avancesena#ixzz3qZB7gfhj

Galileo y la Astronomía Renacentista 

•      Astronomía:   Se afirma que durante la primera mitad del siglo XVI no se dieron grandes cambios en las matemáticas europeas más allá de lo que los árabes habían suministrado. Los cambios, sin embargo, arrancan en la segunda mitad, debido primordialmente a las necesidades prácticas que una nueva forma de sociedad y economía habían generado. Una de las actividades claves para 190 entender el progreso de las matemáticas y de las ciencias en general refiere directamente a la astronomía. ¿Por qué? Las grandes exploraciones geográficas de la época

se habían convertido en asuntos decisivos para los europeos y éstas requerían mayor precisión en los cálculos astronómicos. Un ejemplo lo constituyen las tablas trigonométricas, las cuales debieron ser mejoradas para ajustar las observaciones a la nueva teoría astronómica.

Hubo importantes trabajos en la recolección de datos astronómicos, que fueron relevantes para las nuevas teorías. Mason recoge estos elementos: "La astronomía de observación resurgió en el siglo quince en relación con el arte de navegar y con la reforma del calendario juliano que se estaba desfasando respecto al año solar. Este movimiento se inició con Geor von Peurbach, 1423 - 61, de la Universidad de Viena, y más especialmente con su discípulo Johann Müller, 1436 - 76, quien fue a Italia para estudiar las versiones griegas originales de la astronomía de Ptolomeo. Müller se estableció en Nuremberg, realizando observaciones con su amigo y patrón Bernhard Walther, 1430 - 1504, un rico comerciante que disponía de un observatorio privado. Walther tenía también una imprenta propia, con la que prepararon almanaques náuticos de gran utilidad para los navegantes portugueses y españoles. Müller fue el primero que introdujo en las observaciones astronómicas correcciones para la refracción atmosférica, así como el primero también en utilizar en astronomía el reloj mecánico. Más tarde, marchó a Roma para reformar el calendario, si bien murió antes de llevarlo a cabo. Walther y su amigo, el artista Albrecht Dürer, prosiguieron sus observaciones, de modo que cuando Nicolás Copérnico, 1473 - 1543, comenzó su trabajo, se disponía ya de un volumen considerable de observaciones moderas precisas.'' [Mason, Stephen F.: Historia de las ciencias. 

• Trigonometría:  Con relación a la trigonometría debe decirse que, aunque los peritos usaban los métodos geométricos romanos, se empezó a usar algo de trigonometría plana con un método iniciado por Leonardo de Pisa en su Practica Geometriae (1 220).

Otros avances fueron hechos por el mismo George Peurbach (1423 - 1461) de Viena, quien ofreció tablas trigonométricas más precisas y corrigió algunas traducciones latinas del Almagesto que habían sido realizadas desde versiones árabes y no griegas. El más conocido, sin embargo, fue Johannes Müller (1436 - 1476), el famoso Regiomontano, que fue discípulo de Peurbach y del cardenal Bessarion (c. 1400 - 1472). Regiomontano no solo haría varias traducciones de obras griegas sino que también estableció su propia imprenta para imprimirlas. Entre ellas las Secciones Cónicas de Apolonio y partes de Arquímedes y Herón. Se sabe que en su libro De Triangulis, 1462 - 1463, Regiomontano se benefició de algunos trabajos árabes para expresar de una mejor manera el conocimiento disponible sobre trigonometría plana, geometría esférica, y trigonometría esférica. 

 Un detalle sobre Müller: Nicolás de Cusa (1401 - 1464), quien se supone fue el primer europeo que buscó resolver el problema clásico de la cuadratura del círculo, y un intelectual, incluso cardenal, que tendría importantes repercusiones, fue corregido por Regiomontano (1436 - 1476), quien le señaló algunos problemas o errores de razonamiento. La construcción de tablas fue otro asunto importante durante los siglos XV y XVI. Por ejemplo, laboraron en eso George Joachim Rheticus (1514 - 1576), Copérnico, François Vieta (1540 - 1603) y Barthdolomaeus Pitiscus (1561 - 1613). En estos trabajos usaron números de unidades muchísimo más largos en el radio, de tal forma que los valores de las cantidades trigonométricas pudieran ser obtenidas con mayor precisión sin usar fracciones o decimales. Rheticus calculó una tabla de senos basado sobre un radio de diez a la diez unidades y otro basado en diez a la 15 unidades y dio valores para cada diez segundos del arco. Pitiscus corrigió algunos de estos trabajos.

Se supone, precisamente, que la palabra trigonometría fue dada por él.

Un detalle interesante con Rheticus es que cambió el significado del seno. Antes se usaba como el seno del arco y no del ángulo (en una circunferencia), ahora era el seno del ángulo.

Tomado de: Ruiz Ángel; historia y filosofía de las matemáticas.

Matemática de la Edad Media

UNIDAD # 2

 MATEMÁTICA DE LA EDAD MEDIA

Edad Media:

En el período histórico que desde el punto de vista eurocéntrico se denomina Edad Media, fueron principalmente eruditos provenientes de la región árabe y persa quienes aportaron nuevos conocimientos y continuaron desarrollando la matemática de los griegos. En la Baja Edad Media se abrieron paso poco a poco aportes de la matemática con influencia islámica, que también llegaron a la Europa cristiana. La fundamentación del álgebra actual constituye el aporte más importante de los matemáticos islámicos.

Personajes destacados:

Aryabhata (476 en Ashmaka c. 550): Aryabhata fue un sabio, matemático y astrónomo hindú. Se supone que el concepto de 0 (cero) fue conocido por él, aunque fue en trabajos más recientes de Brahmagupta donde el cero se trató como un número independiente. Aryabhata determinó de manera muy precisa, para las condiciones de aquel entonces, el número π (Pi): en 3,1416 y parece haber intuido que se trataba de un número irracional.

Brahmagupta (598-668): Brahmagupta desempeñó sus labores como Brahmagupta (598-668): Brahmagupta desempeñó sus labores como matemático, así como también de astrónomo en India. Estableció reglas para la aritmética con los números negativos y fue el primero que definió y utilizó el cero para los cálculos. La fórmula de Brahmagupta lleva su nombre.

  

Al-Juarismi (c. 780 entre 835 y 850): Al-Juarismi fue un matemático, astrónomo y geógrafo persa. Se le considera como uno de los matemáticos más relevantes debido a que se dedicó – al contrario que Diofanto, por ejemplo – no aleatoria, sino al álgebra como forma de investigación elemental. Al-Juarismi introdujo de la matemática hindú la cifra cero (árabe: sifr) en el sistema arábico y con ello en todos los sistemas numéricos modernos. En sus libros expone estrategias de solución sistemáticas para ecuaciones lineales y cuadráticas. El término «álgebra» se debe a la traducción de su libro Hisab al-dschabr wa-l-muqabala.

Al-Battani (entre 850 y 869 en Harrán 929 en Schloss Dschaß): Al-Battani es considerado un gran matemático y astrónomo de la edad mediacero. Pero, sobre todo, el mérito de Al-Battanis gira en torno a la trigonometría; fue el primero en utilizar el seno en lugar de las cuerdas. Halló y demostró por primera vez el teorema del seno, así como el hecho de que la tangente representa la relación entre el seno y el coseno.

Abu'l Wafa (10 de junio de 940 en Buzjan 15 de julio de 998 en Bagdad):  Abu'l Wafa hizo aportes significativos a la trigonometría. Fue el primero en introducir las funciones secante y cosecante y en utilizar la función tangente. Propuso también la definición de las funciones trigonométricas de la circunferencia unitaria. Además simplificó los métodos antiguos de la trigonometría esférica y demostró el teorema del seno para los triángulos esféricos en general.

Leonardo Fibonacci (c. 1180 después de 1241): Leonardo da Pisa, más conocido como Fibonacci es considerado el matemático europeo más importante de la Edad Media. Hoy en día se le conoce sobre todo por los números que llevan su nombre y conforman la sucesión de Fibonacci. A través del estudio de la geometría de Euclides, escribió un compendio de sus conocimientos matemáticos en su obra principal Liber abbaci.

Recuperado de: https://es.wikipedia.org/wiki/Anexo:Matem%C3%A1ticos_importantes#Edad_Media 

MATEMÁTICAS DEL  MUNDO  ISLÁMICO

“Después de un siglo de expansión en la que la religión musulmana se difundió desde sus orígenes en la península Arábiga hasta dominar un territorio que se extendía desde la península Ibérica hasta los límites de la actual China, los árabes empezaron a incorporar a su propia ciencia los resultados de “ciencias extranjeras”. Los traductores de instituciones como la Casa de la Sabiduría de Bagdad, mantenida por los califas gobernantes y por donaciones de particulares, escribieron versiones árabes de los trabajos de matemáticos griegos e indios.

Hacia el año 900, el periodo de incorporación se había completado y los estudiosos musulmanes comenzaron a construir sobre los conocimientos adquiridos. Entre otros avances, los matemáticos árabes ampliaron el sistema indio de posiciones decimales en aritmética de números enteros, extendiéndolo a las fracciones decimales. En el siglo XII, el matemático persa Omar Jayyam generalizó los métodos indios de extracción de raíces cuadradas y cúbicas para calcular raíces cuartas, quintas y de grado superior. El matemático árabe  Al-Kharizmi (780-850); (de su nombre procede la palabra algoritmo, y el título de uno de sus libros es el origen de la palabra álgebra) desarrolló el álgebra de los polinomios.

“Al-Karayi la completó para polinomios incluso con infinito número de términos. Los geómetras, como Ibrahim ibn Sinan, continuaron las investigaciones de Arquímedes sobre áreas y volúmenes. Kamal al-Din y otros aplicaron la teoría de las cónicas a la resolución de problemas de óptica. Los matemáticos Habas al-Hasib y Nasir ad-Din at-Tusi crearon trigonometrías plana y esférica utilizando la función seno de los indios y el teorema de Menelao. Estas trigonometrías no se convirtieron en disciplinas matemáticas en Occidente hasta la publicación del De triangulis omnimodis (1533) del astrónomo alemán Regiomontano.”

“Finalmente, algunos matemáticos árabes lograron importantes avances en la teoría de números, mientras otros crearon una gran variedad de métodos numéricos para la resolución de ecuaciones. Los países europeos con lenguas latinas adquirieron la mayor parte de estos conocimientos durante el siglo XII, el gran siglo de las traducciones. Los trabajos de los árabes, junto con las traducciones de los griegos clásicos fueron los principales responsables del crecimiento de las matemáticas durante la edad media. Los matemáticos italianos, como Leonardo Fibonacci y Luca Pacioli (uno de los grandes tratadistas del siglo XV en álgebra y aritmética, que desarrollaba para aplicar en el comercio), se basaron principalmente en fuentes árabes para sus estudios.”

Tomado  de: http://www.uv.es/~teamar3/Historia03.htm#media

Historia de las Matemáticas.

UNIDAD #1. LAS MATEMÁTICAS ANTIGUAS

Sistemas de numeración. 

La Matemática de los Egipcios  

  El Antiguo Egipto es la mayor civilización tecnológica de la antigüedad, el triunfo de la eficiencia y la inteligencia. Se pasa del neolítico a la historia en 2.500 años de acelerados avances técnicos. Los conocimientos científicos de los egipcios, su medicina, sus construcciones, su refinamiento siguen sorprendiendo y atrayendo.

Aquí nos vamos a ocupar de sus matemáticas. Tenían unos conocimientos matemáticos considerablemente avanzados. Sin llegar a la madurez que más adelante tendrían los griegos, los egipcios supieron solucionar los problemas que se les planteaban: tras la inundación anual del Nilo, las lindes desaparecían y tenían que volverlas a marcar, las construcciones (pirámides, templos,...), el comercio, los repartos, etc.

 Sus cálculos no eran abstractos, buscaban lo más práctico aunque no tuvieran la resolución y la reflexión teórica que después alcanzarían los griegos. Al contrario que a los matemáticos griegos, no les preocupó la resolución teórica ni la reflexión sobre problemas matemáticos (numéricos, aritméticos o geométricos), sino su inmediata aplicación práctica. Pero, sin embargo, fueron precursores. Los más importantes matemáticos griegos viajaron por Egipto y Babilonia aprendiendo de estos pueblos. 

• Aritmética: en Egipto encontramos dos sistemas de numeración, ambos de agrupamiento simple y cuya diferencia es la introducción de símbolos especiales en uno de ellos para evitar el principio de repetición: estos sistemas fueron el jeroglífico y el hierático (o sagrado), que utiliza símbolos cursivos. 

 Sistema de jeroglífico: fue un sistema de base 10 no posicional, de carácter aditivo. Los símbolos básicos fueron:  

 Sistema hierático: también fue un sistema de base 10 no posicional, pero para evitar la repetición de  símbolos se introdujeron especiales. Los principales símbolos fueron: 

• El álgebra: de los problemas llegados a través de las fuentes de información y especialmente de los papiros Rhind y Moscú, algunos platean resolver situaciones aparentemente de la vida cotidiana y que conducen a ecuaciones lineales, estos se resuelven por procedimientos aritméticos. Los problemas están formulados verbalmente.
• Geometría: los Egipto poco a poco fueron desarrollaron  métodos de medición de las tierras que dio origen a lo que conocemos hoy como geometría.   La geometría se consideró como una herramienta practica en la cual se empleaban la aritmética y el álgebra para resolver algunas situaciones de determinación de algunas áreas y volúmenes. 

 La Matemática de los Babilonios  

Junto con Egipto, el otro polo geográfico donde se originaron las Matemáticas que luego florecieron con los griegos y configuraron la cultura europea es Mesopotamia, la tierra fértil comprendida entre los valles de los ríos Éufrates y Tigris, en lo que hoy es Iraq. Desde el cuarto milenio A.E.C. habitaron el sur de Mesopotamia los sumerios, un pueblo no semita que inventó la escritura cuneiforme, que luego pasó a ser usada por los Acadios y los babilonios, pueblos semitas que invadieron sucesivamente Mesopotamia y conservaron la cultura sumeria original. Las tablillas de arcillas fueron el medio utilizado para escribir y la escritura utilizada es la llamada cuneiforme la consiste en la combinación de unos pocos signos rectos producidos con un clavo o punzón sobre una superficie húmeda de barro, que al secarse, queda fija y se puede conservar por mucho tiempo. 

Aritmética:

·   Sistema de numeración:

Después de pacientes labores de investigación e interpretación de las tablillas de contenido matemático, se llegó a establecer que los babilónicos tenían un sistema de numeración decimal de base 60. 

• El álgebra: indudablemente uno de los aspectos más importantes de la matemática babilónica es lo relativo a los desarrollados en álgebra, por cuanto ellos nos muestran que comprendieron la naturaleza de esos problemas y los trabajaban de acuerdo con esta naturaleza, sin ningún referente e interpretaciones geométricas o de atar la concepción del número a una representación o interpretación geométrica. Los babilonios utilizaron el Álgebra Retórica, lo cual hacen que sean aún más sorprendentes los logros obtenidos. Conviene tener presente que no solucionaban una ecuación en abstracto, como se hace hoy, sino que ella obedecía al planteamiento de un problema concreto que se proponía y que muchos de ellos conducían, por ejemplo, a sumar área con longitudes.

• Geometría: para los babilónicos la geometría se limitó a la solución de casos concretos relacionados con la medición de terrenos, determinación del tamaño y cantidad de ladrillos necesarios para una construcción, estos problemas de inmediato se convertían en problemas algebraicos. Esto llevó a que la geometría no tuviera un desarrollo independiente y que se limitara a dar algunas reglas para la determinación de áreas de ciertas figuras como cuadriláteros, triángulos, círculos y volúmenes de prismas rectos, cilindros, de esas fórmulas, algunas nos son correctas.  

 La Matemática de la India y China Antigua. 

Las Matemáticas de la India

Los primeros documentos matemáticos hindúes datan del siglo V d. C., sin embargo se piensa que debió haber una actividad matemática mucho antes de esta época. Parte de sus conocimientos geométricos primitivos utilizados en la construcción de templos y altares se encuentran en los salvasutras o "reglas de la cuerda", versiones de conocimientos que pueden remontarse a la época de Pitágoras.

Aritmética: 

•   Numeración de la india  La numeración india todavía es usada en india, Pakistán, Bangladesh, Nepal, y Birmania se basa en agrupar dos lugares decimales, en lugar de los tres habituales en casi todo el resto del mundo. Este sistema de numeración nos dio un gran avance ya que introdujo separadores entre los números en los lugares apropiados para el agrupamiento de a dos.
  
  Por otra parte en este sistema de numeración aparece el símbolo del cero en el siglo IX, Con la introducción del símbolo para el 0 de la numeración hindú tenemos el sistema de numeración que actualmente usamos. Con una base decimal, una notación posicional, una forma cifrada para cada uno de los diez numerales básicos.
  La suma y la multiplicación se hacían en la India casi como las hacemos hoy, salvo porque la escritura de los números se hacía con los de orden menor a la izquierda. Para multiplicar 456 x 34 = 15.504 lo hacían de la siguiente manera.
  La disposición en celdillas es un recurso para evitar las "llevadas", sólo hay que tener en cuenta las llevadas de las sumas parciales diagonalmente

• Geometría:  Entre las obras relacionadas con la geometría esta los aryabhata, siddhantas, y los sulvasutras en la última nos encontramos con reglas para la construcción de ángulos rectos por medio de ternas, cuyas longitudes constituyen a ternas pitagóricas, para la construcción de altares. Pero sin embargo se cree que esta reglas fueron heredaron de los babilonios. También agregó a este libro algunos aportes de los elementos de Euclides. Pero se cree que estas obras fueron basadas en obras de los matemáticos griegos. Los sulvasutras también contenía temas relacionados con la aritmética (fracciones, raíces cuadradas, interés simple, la regla de tres, la regula fácil) y álgebra (ecuaciones lineales y cuadráticas) y progresiones aritméticas। También contiene problemas geométricos.

• Trigonometría: Una de las contribuciones de la india a las matemáticas, consistió en la función equivalente al seno en trigonometría, para remplazar las tablas de cuerdas griegas las tablas más antiguas son las encontradas en los siddhantas y en el arrabiata donde se dan los senos de los ángulos menores de 90 grados 0, se tomaba como radio 3,438 unidades y la circunferencia correspondía como 360 *60=21600 unidades, pero para los hindúes en ecuaciones p era la raíz cuadrada de 10. 

•  Álgebra: En la matemática de la india se destacaron cuatro nombres propios: Aryabhata (s. VI), Brahmagupta (s. VI), Mahavira (s. IX) y Bhaskara Akaria (s. XII) quienes Profundizaron en la obtención de reglas de resolución de ecuaciones lineales y cuadráticas, en las cuales las raíces negativas eran interpretadas como deudas. Desarrollaron también, sin duda para resolver problemas astronómicos, métodos de resolución de ecuaciones diofánticas, llegando incluso a plantear y resolver (siglo XII) la ecuación x²=1+ay², denominada ecuación de Pelt. 

Recuperado de : http://marlyforeroblogspotcom.blogspot.com.co/2010/06/historia-de-las-matematicas-en-india.html

La matemática de China antigua

Aritmética

Sistema de numeración: En china existieron 2 sistemas de numeración en uno los números se representaban por pequeñas varillas de bambú o marfil, este sistema perduro muy poco, ya que se creaban problemas de confusión entre las descripciones de números grandes. El problema más grande con esta notación fue que podría llevar a una confusión. ¿Qué era? Podría ser 3, o 21 o 12 o incluso 111.

El otro sistema es de la forma clásica que a usar desde el 1500 A.C. aproximadamente. Es un sistema decimal estricto que usa las unidades con símbolo distinto para cada uno de ellos. En este sistema de numeración era fundamental el orden de la escritura ya que 5 10 7 igual podría representar 57 que 75.
Los eruditos chinos por su parte desarrollaron un sistema posicional muy parecido al actual que desde que incorporó el cero por influencia india en s. VIII en nada se diferencia de este. 

El ábaco: Con esta gran herramienta que se inventaron los chinos y que aún se utiliza, los chinos implementaron su forma de hacer las operaciones básicas en el ábaco nos lo han heredado los chinos conocían bien las operaciones con fracciones ordinarias hasta el puno de que hallaban el mínimo común denominador de varias fracciones, con las fracciones hacían analogías entre sexos, refiriéndose al denominador como “el hijo” y al denominador como “la madre “también utilizaban el yin y yang aparte de esto adoptaron un sistema decimal en pasos y medidas dio como resultado como resultado la implementación de decimales en el manejo de las fracciones.
Después de esto los chinos descubrieron la idea de los números negativos, no les causo muchas dificultades ya que estaban acostumbrados a calcular usando las varillas, uno de color rojo para los positivos y de color negro para los negativos. Aunque nunca los aceptaron como solución a una ecuación.

Los cuadrados mágicos: Los chinos han sido siempre muy aficionados al diseño armónico, aritmético o geométrico, estos cuadraditos ayudaron al autor de los nueve capítulos a resolver el sistema de ecuaciones lineales. Estos cuadros y diferentes figuras consistían en que en todos sus lados diera el mismo número. 

• Geometría: en la matemática primitiva de china se ve que quizá dependió un poco de Mesopotamia ya que tenían el mismo valor para p(3), en la búsqueda de valores más exactos, aparece liu hui de donde se obtiene el valor de 3,14 usando un polígono regular de 96 lados y la aproximación mejor de 3,14159

Triangulo aritmético:

Las obras de yang hui incluían también otros resultados para la suma de series finitas y del llamado triángulo de pascal, pero también son conocidas en el espejo precioso publicado por chu shih-shih, quien maneja estas sumas por medio del método de diferencias finitas y por otra parte el teorema binomial para potencias enteras positivas

Álgebra:

De la época de la primera dinastía Han (206 a. C. hasta 24 d.C.) procede el tratado Matemáticas en nueve Libros. Posteriormente otros matemáticos como Liu Hui (siglo III), Sun-zi (siglos II-IV), Liu Zhuo (siglo VI) y otros hicieron aportaciones a este tratado. El texto trata problemas económicos y administrativos como medición de campos, construcción de canales, cálculo de impuestos. Trabajan las ecuaciones lineales indeterminadas y un procedimiento algorítmico para resolver sistemas lineales parecidos al que hoy conocemos como método de Gauss que les llevó al reconocimiento de los números negativos. Estos números constituyen uno de los principales descubrimientos de la matemática china.
La escuela algebraica china alcanza su apogeo en el siglo XIII con los trabajos de Quin Jiu-shao, Li Ye, Yang Hui y Zhu Shi-jie que idearon un procedimiento para la resolución de ecuaciones de grado superior llamado método del elemento celeste o tian-yuanshu. Este método actualmente se conoce como método de Horner matemático que vivió medio milenio más tarde.
El desarrollo del álgebra en esta época es grandioso: sistemas de ecuaciones no lineales, sumas de sucesiones finitas, utilización del cero, triángulo de Tartaglia (o Pascal) y coeficientes binomiales así como métodos de interpolación que desarrollaron en unión de una potente astronomía.
El siglo VII vio la enorme gesta de ingeniería que supuso la unión de los dos ríos más importantes de China mediante el Gran Canal de 1700 km. de largo.

recuperado de : http://marlyforeroblogspotcom.blogspot.com.co/2010/06/historia-de-las-matematicas-en-india.html

 

Las Matemáticas Griegas y Helénicas 

La historia de los orígenes de la matemática griega se tiene que centrar necesariamente en las llamadas escuelas jónicas y pitagóricas, y en los representantes principales de cada una de ellas, tales y Pitágoras, aunque la reconstrucción de su pensamiento se basa solamente en informaciones fragmentarias y en tradiciones elaboradas durante los siglos posteriores. 

Este notable período de la matemática formal se inicia con la geometría demostrativa de Tales y culmina con los Elementos de Euclides. Durante este período, los sucesos mas importantes que evolucionan a Grecia son los siguientes:

a) Persia se transforma en una potencia militar y domina las colonias griegas de Asia menor en 546 A.C., é intenta invadir la península Griega en varias ocasiones sin éxito.

b) Los persas basan su desarrollo en la esclavitud, provocando una emigración de los griegos hacia las colonias de la costa de Italia.

c) De 480 a 430 A.C., hay un período de paz. Los matemáticos griegos dispersos vuelven a Atenas y la convierten en un centro de desarrollo intelectual. (Pericles, Sócrates, Zenón, etc.).

d) De 430 a 370 A.C., hay un nuevo período bélico y una epidemia mata 1/4 de la población de Atenas.

Después del 370 A.C., regresan a Grecia los pitagóricos emigrados con el compromiso de no participar en cuestiones políticas.

Durante este período se fundan escuelas en Atenas y las colonias griegas, de las cuales, las mas importantes son las siguientes:

1.- Mileto. En este colonia griega de Asia Menor, funda Tales la "Escuela" donde estudió Pitágoras.

2.- Crotona. Colonia griega de la costa de Italia, donde inicia Pitágoras la escuela de los primeros pitagóricos.

3.- Elea. Colonia griega en Italia, donde Zenón y Parménides fundan su escuela.

4.- Atenas. En la capital de Grecia inician su escuela Pericles y Sócrates, seguidos por Platón y posteriormente por los pitagóricos Zenón y Parménides de Elea y por Hippocrates de Asia Menor.

5.- Targnto. Colonia griega en Italia donde se funda la escuela iniciada por Archytas.

6.- Cycicus, Colonia griega del noroeste de Asia Menor donde se funda la escuela de Eudoxus, alumno de Archytas y Platón.

7.- Cyrene. Fundada por Teodoro, en el norte de África. El año 300 A.C., Ptolomeo funda en la Ciudad de Alejandría, la primera Universidad, donde enseña Euclides y estudian importantes personajes como Arquímedes, que se establece en Siracusa en la Isla de Sicilia y Apolonio en Perga al Suroeste de Asia menor.